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01/12/2017

   Estos días en clase hemos estado viendo el álgebra e hicimos un examen de parejas hace un tiempo, y tengo que responder a las siguientes preguntas:

• ¿Qué te ha parecido el examen por parejas?

         Yo creo que es una buena forma de aprender del compañero.

• ¿Has aprendido algo nuevo mientras lo hacías? ¿Qué?

         Sí, por ejemplo, entendí mejor el método de gauss.

• ¿Qué te ha parecido trabajar con la pareja elegida?

         Me ha gustado mucho la experiencia con ella ha sido muy emocionante.

• ¿Estaban ajustadas las preguntas a lo que habíamos trabajado en clase?

         Yo diría que el examen estaba más complicado que lo que habíamos trabajado en clase, aunque        es cierto que lo podríamos haber hecho mejor pensando con un poco más de tranquilidad pero me        pareció bastante complicado.

• ¿Les dio tiempo?¿Qué quitarías/añadirías?

         Sí, fue el tiempo justo y necesario para hacerlo diría yo. Yo no quitaría nada ni añadiría, ya que        es como un examen para ver hasta qué nivel podemos llegar, pero es cierto que el álgebra no es          un tema que le resulta fácil a la mayoría de la clase, sino al contrario.

09/11/2017

   En este trimestre, también hemos dados los números complejos.

   Índice:

• ¿Qué son los números complejos?
• ¿Para qué se usan?
• Partes de los números complejos
• Formas de representarlos
• Operaciones con complejos

   Empezaré por decir qué son los números complejos, todos creemos que todos los números están englobados en los reales, pero esto no es del todo cierto, ya que en 1572, un matemático e ingeniero decide darle solución a las raíces negativas, Bombelli, quien patentó solamente el género. Más tarde, René Descartes es quien le da el nombre de los números imaginarios, y en 1777, Euler es quien le pone como representación la letra i.

   Los números imaginarios se utilizan hoy en día en física e ingeniería, en circuitos eléctricos y con las ondas electromagnéticas.

   Antes de saber de que partes que componen a los números complejos debemos saber la fórmula más usual que es: a+bi, siendo a y b números cualesquiera y la i la representación de los imaginarios.

   Hay tres maneras de expresarlos y hay que saber pasar de una forma a otra.

• Primero, pondré la que más sencilla me pareció que es la que más se suele usar, se llama binómica. Esta es la que hemos visto antes (a+bi).
• La siguiente forma es la polar, que se representa r_α, siendo r el módulo (un número cualquiera) y α el argumento (los grados que ponen donde está en el plano cartesiano).
• Por último, la forma trigonométrica, que obviamente tiene que ver con trigonometría, que es r(cosα+senαi).

      -Pasar de binómica a polar: pues bien, estamos en la primera manera que vimos que es a+bi, para obtenerlo en forma polar debemos elevar a y b al cuadrado sumarlo y hacer la raíz cuadrada de todo esto. √(a^2+b^2). Luego, como ya expliqué antes, la forma polar tiene los grados para hallar el vector en el plano cartesiano, este número se consigue con la arcotangente de b/a.

      -Pasar de polar a binómica: recordamos que en polar es r_α, entonces para conseguir la forma polar la r multiplica la suma de el seno y el coseno por i de α.

   Ahora toca las operaciones con números complejos:

   - En forma binómica:

• (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
• (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
• (a+bi) · (c+di) = (ac-bd) + r_α(ad+bc)i
• a+bi/c+di = (a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di) = ((ac+bd)/(c^2+d^2)) + ((bc-adi)/(c^2+d^2)

   -En forma polar, solo se puede multiplicar y dividir, de la siguiente forma

• r_{α ·} r'β=(r·r')_α+β
• _{rα / r'β=(r/r')α-β}

*Y una cosa muy importante, las potencias de i.

09/11/2017

   Bueno ya hemos empezado hace más de un mes las clases y ya tocaba hacer entrada de nuestro primer tema de mates, siendo este los números reales.

   Índice:

• Clasificación de los números reales
• Representación
• Notación científica
• Aproximaciones y errores
• Radicales
• Logaritmos
• Conclusión del tema

   Como ya el año pasado hablé sobre algunos de estos tema pues me dedicaré a completarlos o a poner recordatorios.

   Comenzaré con la organización de los números reales:

   Ahora viene cómo representarlos con la ayuda en los ejes cartesianos, ya que supongo que todos saben representar los números como 1, 2, 3'5 iré directamente a los más complicados como √2 o  √7 y números parecidos. Empezaremos con el que a mí me parece más simple: √2. Primero hacemos un triángulo en el que los catetos serán de altura 1 y la hipotenusa medirá lo mismo que √2 en el ángulo en que se unen la hipotenusa con el cateto del eje de las X va en el punto (0,0) y donde se juntan los dos catetos, en el punto (0,1). Para que esto se entienda mejor pondré una imagen:

Para representar la √7, la descomponemos en suma de cuadrados, quedando así:

$$7=2^2+(\sqrt{3}{)}^2$$Necesitamos representar primero la raíz de 2, y posteriormente la raíz de tres:

Trazamos un segmento desde el origen de coordenadas hasta √3, y partiendo de √3 una perpendicular de altura 2. Posteriormente se traza la diagonal desde 2 hasta el origen. Y para finalizar, tomamos un compás, su punta en el punto (0,0), y como medida la hipotenusa de la raíz de 7, realizando un arco que llegue hasta el eje X.

La notación científica recordemos del año pasado, que es una forma más sencilla de expresar números demasiado grandes o demasiado pequeños, que forman un producto entre un número que va del 1 al 10 por una potencia de la cifra 10 (las potencias positivas del 10, indican el número de ceros después del 1. Las potencias negativas indican los lugares a la derecha de la coma decimal):

          * si el primer número del producto no está entre uno y diez, tenemos que convertirlo: 283 =                    2,83 x 10 2

Ejemplos:

283000000000000000000 tiene 18 ceros, más los 2 por la conversión a cifra entre 1 y 10, son veinte en total = 2.83 × 10 20

53200000000000000000 = 5.32 × 10 19

0.000068 = 6.8 × 10 -5

Una de las aplicaciones prácticas de la notación científica es poder comparar las cifras entre sí y por supuesto, hacer cálculos con ellas.

Para seguir poniéndonos al día, pasamos ya a hablar de las aproximaciones y errores. En ocasiones, operar con números que tienen muchas cifras decimales, nos complica los cálculos y nos lleva a errores, para facilitar esta tarea, recurrimos a las aproximaciones, aunque el resultado pierda un poco de precisión. Aquí incluimos también aquellos números que tienen infinitas cifras decimales.

Vamos a distinguir primero lo que son las cifras significativas:

    * Todos los dígitos distintos de cero.

    * Los ceros que están entre dos cifras significativas

    * Los ceros a la derecha de la coma en números mayores que 1

Sin embargo,

    * Los ceros a la izquierda de la cifra, no son significativos

Ejemplos: $\mathrm{6,31}$ tiene $3$ cifras significativas, mientras que $0,02$ solo tiene una, al estar los ceros situados a la izquierda del 2. Por otra parte, 2$,1\mathrm{0 }$también tiene 3 cifras significativas, ya que el 0 detrás de la coma decimal se considera como cifra significativa.

Partiendo de estas normas, existen tres tipos de aproximaciones:

   1) Aproximación por defecto, elimina las cifras a partir de un determinado lugar.

   2) Aproximación por exceso, elimina las cifras a partir de un determinado lugar, pero en este caso            se le suma 1 a la última cifra.

   3) Redondeo: se eliminan las cifras a partir de un determinado lugar y se aumenta la última cifra en          uno si es mayor que 5, si no, se queda como está.

Ejemplos: hasta las décimas del número $1,\mathrm{274,\; e}$l resultado de la aproximación por defecto es $1,2$, por exceso $1,3$, y del redondeo $1,3.$

Los errores se refieren a la pérdida de precisión en las cifras cuando usamos las aproximaciones, y pueden ser de dos tipos:

   - Absoluto es la diferencia entre el valor real vry el valor aproximado va  : Ea=|vr−va|

   - Relativo es el cociente entre el error relativo y el valor real: Er = ∣Ea/ vr∣

Ejemplo: estos son los errores al aproximar $1,25$ a $1,\mathrm{2: }$

Ea=|1,25−1,20|=0,05

Er=∣∣∣Eavr∣∣∣=∣∣∣0,051,25∣∣∣=0,04

Pasando al penúltimo tema que voy a tratar, llamamos radical a toda expresión de la forma 

a−−√n, donde $a$ es conocido como radicando y $n$ es el índice de la raíz. Dada la ecuación xn = a, llamamos raíz n-ésima de a, a una de las soluciones de dicha ecuación.

 a−−√n=b⇔bn=a

Ejemplo 

8–√3=2$\text{exception 25:}$ 3$=2$, ya que 2 3 = 8

A continuación podemos ver las propiedades de las radicales:

Por  otro lado, tenemos la racionalización de radicales. Esto consiste en eliminar las raíces del denominador de una fracción multiplicando el numerador y el denominador por una expresión adecuada. Existen dos formas de racionalizar:

cuando hay una sola raíz

o cuando hay un suma o una diferencia

Para poder extraer factores de un radical am−−− √n, m debe ser mayor o igual que n. Si ese es el caso, dividimos m entre n para ver cual es el exponente del factor que sale y el resto nos indica el exponente del factor que se queda dentro. Por ejemplo ( Si dividimos 8 entre 3, obtenemos 2 como cociente y 2 como resto):

58−−



   √
3=5252−−√3

Para introducir un factor dentro de un radical, basta con elevar el factor al índice del radical. Por ejemplo

Introduzcamos el siguiente factor en el radical 

23–√4=$2\sqrt[4]{3}=$ 24⋅3−−−−  √4=$\sqrt[4]{2^4\cdot 3}=$ 16⋅3−−−− √4=$\sqrt[4]{16\cdot 3}=$ 48−−√4

Logaritmos = números para el cálculo. Con esta definición nos podemos ya imaginar su utilidad. Se crearon en el siglo XVI, debido a la expansión comercial, a fin de facilitar los cálculos con multiplicaciones y divisiones, usando exponentes de potencias. En definitiva, el logaritmo de un número en una base dada, es el exponente al que hay que elevar dicha base para obtener el número.

Si a es un número positivo distinto de 1, cualquier número real positivo N se puede expresar como potencia de a con un exponente racional x.  
N = a x    == >    Notación potencial o logarítmica.

Así que, el logaritmo en base a de un número N es el exponente al que hay que elevar la base a  para que dé dicho número.           
N = a x  < === >   x = log a N 
De todas las bases posibles, para los logaritmos se usa preferentemente la base 10. Así, los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales y se representan sin necesidad de escribir la base.
log x  = log 10  x

En particular, podemos obtener logaritmos decimales en la calculadora, con la tecla log     

 Para conocer logaritmos en cualquier otra base, basta aplicar esta fórmula de conversión:

 log a x = log x / log a

Ejemplo:    log ₂ 4 = 2      == >    2 ² = 4

 CONCLUSIÓN:

Hasta ahora en el curso, se ha reforzado prácticamente lo mismo que se dio el año pasado, por supuesto aunque a mí me está costando un poquito, cada vez lo entiendo mejor y este tipo de trabajo, de búsqueda de información y de hacer nuestros propios resúmenes en el blog ayuda a asentar los conocimientos adquiridos.

Todos los temas que estamos abordando son muy importantes para nuestra preparación en el futuro, a fin de podernos abrir camino en carreras de ciencias, ya se ve aquí el nivel que van cogiendo las matemáticas, y se hace cada vez más interesante especular sobre las futuras aplicaciones que les podamos dar.

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